Zobacz na przykładzie
| Szansa wygranej p | Stały zysk : strata | Wynik wzoru f* |
|---|---|---|
| 55% | 1,5 : 1 | 25,00% |
| 50% | 1,5 : 1 | 16,67% |
| 45% | 1,5 : 1 | 8,33% |
Model dwóch stałych wyników, bez kosztów. To wynik matematyczny, nie proponowany procent rachunku. Trzy straty po 25% oznaczają obsunięcie 57,81%.
Wzór może zwrócić 25% kapitału i jednocześnie opisywać model, który źle pasuje do rzeczywistych transakcji. Ważne jest więc nie tylko wykonanie dzielenia, lecz także sprawdzenie, co oznaczają w nim wygrana i strata.
Założenia prostego wzoru
Stawiasz część f kapitału. W razie wygranej dostajesz zysk b razy większy od stawki; w razie przegranej tracisz całą stawkę. Prawdopodobieństwa wynoszą p i 1 − p. Przy tych założeniach f = (b × p − (1 − p)) ÷ b.
Cel to maksymalizacja p × ln(1 + b × f) + (1 − p) × ln(1 − f). Jeżeli dopuszczasz tylko udział w grze lub rezygnację, ujemny wynik f nie oznacza polecenia odwrócenia pozycji — wskazuje brak dodatniej stawki w tym modelu.
Wrażliwość na dane wejściowe
Przy p = 0,55 i b = 1,5 wynik to 0,25. Zmiana p na 0,50 obniża go do około 0,1667; przy p = 0,45 daje około 0,0833. Wszystkie liczby są hipotetyczne.
Trzy pełne straty po 25% bieżącego kapitału pozostawiają 0,75³ = 42,1875% startu, czyli obsunięcie około 57,81%. Prawdopodobieństwo trzech strat w konkretnym bloku trzech niezależnych prób wynosi 0,45³ ≈ 9,11%. Jego odwrotność nie jest średnim czasem oczekiwania na serię.
Identyczne średnie mogą dać różne maksimum logarytmiczne
Te same średnie nie wystarczają do maksymalizacji logarytmu. Porównaj dwa autorskie rozkłady wyniku na jednostkę stawki. W obu wygrana ma prawdopodobieństwo 55% i wielkość + 1,5; średnia strata warunkowa ma wielkość 1.
| Wynik jednostkowy | Prawdopodobieństwo A | Prawdopodobieństwo B |
|---|---|---|
| + 1,5 | 55% | 55% |
| −1 | 45% | 0% |
| −1/7 | 0% | 35% |
| −4 | 0% | 10% |
W B strata warunkowa wynosi (0,35/7 + 0,10 × 4)/0,45 = 1. Oba rozkłady mają średni wynik 0,375. Wstawienie samych p i b do wzoru dwuwynikowego daje f = 25%, lecz w B zdarzenie −4 zeruje wtedy cały kapitał: mnożnik 1 − 4 f = 0.
Dla B właściwa funkcja to g (f) = 0,55 ln (1 + 1,5 f) + 0,35 ln (1−f/7) + 0,10 ln (1 − 4 f), z dziedziną 0 ≤ f < 25%. Jej pochodna zeruje się przy f = 10%; druga pochodna jest ujemna. W A maksimum jest przy 25%. Różnicę tworzy rozkład strat, którego średnia nie zachowuje.
To dokładne modele matematyczne bez opłat, nie ryzyko zalecane w handlu ani oszacowanie prawdopodobieństw. Praca Kelly’ego dotyczy celu logarytmicznego; nie upoważnia do zastąpienia dowolnego rozkładu jego dwiema średnimi.
Dlaczego średnia wygrana to za mało
Wyniki rynkowe mają różne wielkości, zależności w czasie, koszty i możliwość straty poza stopem. Do pełnego problemu maksymalizacji logarytmu potrzebny jest rozkład wyników, a nie tylko ich średnie. Błąd estymacji i zmiana rynku pozostają nawet przy długiej historii.
Połówka Kelly’ego oznacza połowę wyliczonej stawki, ale nie gwarantuje zmniejszenia obsunięcia dokładnie o połowę. Przykładu 25% nie należy traktować jako proponowanego ustawienia rachunku.
Sprawdź, czy rozumiesz
Jedno krótkie ćwiczenie
Przy b=1,5 oraz p=0,50 ile wynosi f w prostym modelu?
Sprawdź odpowiedź
0,50 − 0,50/1,5 = 1/6, czyli około 16,67%. To wynik modelu o dwóch stałych rezultatach.