Kryterium Kelly’ego — czy to dobre narzędzie do doboru wielkości pozycji?

Kryterium Kelly’ego ma w sobie coś uwodzicielskiego: matematyczny wzór, który obiecuje policzyć dokładnie, ile postawić, żeby kapitał rósł najszybciej w długim okresie. Brzmi jak święty Graal sizingu. I rzeczywiście, w odpowiednim świecie — w blackjacku z dobrze policzonymi kartami — Kelly działa pięknie. W forexie detalicznym niestety przestaje być świętym Graalem, a zaczyna być eleganckim sposobem na rozbicie konta w pół roku. Ten tekst tłumaczy, skąd ta różnica, i kiedy z Kelly’ego naprawdę warto skorzystać.

Kim był Kelly i co właściwie wymyślił w 1956 roku

John Larry Kelly Jr. był fizykiem pracującym w Bell Labs w New Jersey, w tym samym laboratorium, w którym Claude Shannon kilka lat wcześniej położył fundamenty teorii informacji. Kelly wziął się za pozornie odległe pytanie: jeżeli ktoś gra w grę o znanym, dodatnim oczekiwanym wyniku — i robi to wielokrotnie, reinwestując kapitał — jaki ułamek bankrolla powinien stawiać za każdym razem, żeby tempo wzrostu jego majątku było maksymalne? Odpowiedź ukazała się w lipcu 1956 r. w Bell System Technical Journal pod tytułem A New Interpretation of Information Rate. Z perspektywy matematyki to było eleganckie zastosowanie pojęcia wartości oczekiwanej do logarytmu kapitału — Kelly pokazał, że wzór f = (bp − q) / b maksymalizuje średnią logarytmiczną stopę wzrostu. We wzorze b to stosunek wygranej do straty w jednym zakładzie, p to prawdopodobieństwo wygranej, a q to prawdopodobieństwo straty (czyli jedność minus p). Tyle. Reszta to konsekwencje.

Czego tak naprawdę dotyczy Kelly i liczbowy spacer po wzorze

Tu najczęściej ginie zdroworozsądkowe rozumienie formuły. Kelly nie maksymalizuje skuteczności pojedynczej transakcji ani średniej arytmetycznej zysków, nie minimalizuje też obsuw. Maksymalizuje tempo geometrycznego wzrostu kapitału w bardzo długim horyzoncie, przy założeniu, że reinwestujesz każdą złotówkę. Geometryczny wzrost to nie to samo, co arytmetyczny — pojedyncza duża strata bije o wiele mocniej, niż przeciętna wygrana ją kompensuje. Dlatego Kelly z premedytacją oddaje część potencjalnej średniej wygranej w zamian za niższe ryzyko ruiny.

Hipotetyczny inwestor po dwóch latach prowadzi uczciwy dziennik. Trafia w cel z prawdopodobieństwem 55 procent, a średnia wygrana jest 1,5 razy większa od średniej straty. Wstawiamy te liczby do wzoru: b wynosi 1,5; p wynosi 0,55; q wynosi 0,45. Licznik to 0,55 razy 1,5 minus 0,45, czyli 0,825 minus 0,45, czyli 0,375. Mianownik to po prostu 1,5. Iloraz wynosi 0,25. Pełny Kelly mówi temu inwestorowi: ryzykuj jedną czwartą rachunku na każdą transakcję. Na koncie 40 000 zł oznacza to stratę 10 000 zł, jeżeli ten konkretny stop-loss się odpali. To jest moment, w którym matematyk uśmiecha się z dumą, a praktyk wyciąga kalkulator obsuw i sięga po szklankę zimnej wody.

Dlaczego pełny Kelly jest dla detalisty samobójstwem

Z trzech powodów. Pierwszy jest taki, że Kelly zakłada, iż wartości p i b są dokładnie znane. W kasynie z policzonym blackjackiem to założenie jest spełnione — talia ma ściśle określony rozkład. W forexie to założenie nie jest spełnione nigdy. Twoja skuteczność i twój stosunek wygranej do straty to estymaty z próbki kilkudziesięciu albo kilkuset transakcji, obarczone błędem losowym, błędem regime’u rynkowego i często błędem przeszacowania pochodzącym z backtestów, w których podświadomie zostawia się tylko zwycięskie warianty.

Drugi powód jest matematyczny i ma w sobie brutalną asymetrię. Jeżeli zaniżysz p o pięć punktów procentowych, formuła każe ci postawić mniej — stracisz część potencjalnego wzrostu, ale przeżyjesz. Jeżeli przeszacujesz p o te same pięć punktów, formuła każe ci postawić znacznie więcej, a obsuwy rosną nieliniowo. Drobny błąd w danych wejściowych zamienia się w katastrofę w danych wyjściowych.

Trzeci powód jest psychologiczny i być może najważniejszy. Symulacje Monte Carlo na strategii o naszych przykładowych parametrach pokazują, że przy pełnym Kelly w ciągu kilkuset transakcji praktycznie na pewno przejdziesz przez obsunięcie rzędu 50 procent kapitału. Po takiej obsuwie kapitał trzeba podwoić, żeby wrócić do punktu wyjścia — to nie jest „minus pięćdziesiąt, potem plus pięćdziesiąt", to jest „minus pięćdziesiąt, potem plus sto". Mało który detalista, którego pieniądze są naprawdę jego, dotrwa do tego dnia. Wyjdzie z rynku w najgorszym możliwym momencie. Statystycznie miał rację jako trader, ale przegrał jako człowiek.

„Kelly’s system is a way of betting which, in the long run, gives the player a larger fortune than any other betting system." — William Poundstone, Fortune’s Formula, Hill and Wang, 2005

Ułamkowy Kelly — kompromis, który czasem ma sens

Ponieważ pełny Kelly jest praktycznie nieużyteczny, świat zawodowy od dawna posługuje się jego ułamkową wersją. Polega ona na tym, że wartość ze wzoru mnoży się przez 0,5 (połówka) albo 0,25 (ćwiartka), a czasem nawet mniej. Oddajesz część teoretycznego tempa wzrostu w zamian za radykalnie mniejszą zmienność. Jeżeli pełny Kelly wskazywał 25 procent, ćwiartka mówi 6,25 procent — to wciąż więcej niż reguła jednego procentu, ale obsuwy stają się znośniejsze, a ryzyko ruiny przy realistycznym błędzie estymacji spada o rząd wielkości. Edward Thorp, pierwszy poważny praktyk Kelly’ego (zob. podstawy zarządzania ryzykiem), w pracy w Princeton Newport Partners deklarował używanie wariantów silnie ułamkowych.

Ułamkowy Kelly ma sens wtedy i tylko wtedy, kiedy spełniasz trzy warunki naraz. Pierwszy: masz uczciwą historię co najmniej kilkuset transakcji jednej strategii, obejmującą różne stany rynku. Drugi: umiesz oszacować, jak bardzo twoje p i b wahają się między rocznymi okresami — dopiero ten zakres wahań mówi ci, jakim mnożnikiem bezpiecznie zejść. Trzeci: jesteś gotów psychicznie na obsuwę rzędu 20–30 procent i wiesz, że jej maksymalna obsuwa nie będzie pretekstem do porzucenia strategii. Większość detalistów nie spełnia żadnego z tych warunków.

Dlaczego reguła jednego procentu zwykle wygrywa

Tu pojawia się pointa, której nie spodziewa się większość czytelników: dla typowego detalicznego inwestora forex klasyczna reguła jednego procentu systematycznie bije Kelly’ego w praktyce. Nie dlatego, że jest matematycznie lepsza — w czystej teorii Kelly z definicji jest optymalny. Dlatego, że jest odporna na to, czego detalista nie wie. Reguła jednego procentu nie wymaga od ciebie znajomości prawdopodobieństw, nie wymaga statystycznie istotnej próbki, nie wymaga założenia o stacjonarności rynku. Mówi po prostu: na jedną pozycję ryzykuj jeden procent kapitału, dobierz wielkość lotu tak, żeby twój stop-loss w pipsach odpowiadał tej kwocie, i tyle. Z punktu widzenia matematyki to dramatycznie mniej, niż wskazywałby jakikolwiek rozsądny Kelly. Z punktu widzenia praktyki to różnica między „przeżyłem pięć lat i widzę, jak rośnie kapitał" a „obciąłem konto o połowę i wyszedłem". To zresztą doskonale współgra z faktami: według badania ESMA z 2018 r. 74–89 procent rachunków detalicznych na CFD traci pieniądze, co sugeruje, że problemem detalu jest sizing zbyt agresywny, a nie zbyt konserwatywny.

Można to ująć inaczej. Kelly zakłada, że wiesz, jakie masz p. Reguła jednego procentu zakłada, że nie wiesz. Dla detalisty prawdziwsze jest to drugie założenie. Jeżeli kiedyś przejdziesz z detalu do zawodowstwa, z dziennikiem tysięcy transakcji w różnych warunkach, ułamkowy Kelly stanie się sensowną opcją. Do tego czasu jeden procent jest praktycznie zawsze lepszy. Niektórym pomaga też zerknąć w porównanie reguły 2 procent z regułą 1 procent — w obu wypadkach jesteśmy nadal w świecie konserwatywnym, daleko od pełnego Kelly’ego.

Co zrobić jutro

1. Otwórz swój dziennik transakcji i policz uczciwie z ostatnich co najmniej dwustu pozycji własne p (procent zwycięskich transakcji) oraz b (stosunek średniej wygranej do średniej straty); jeżeli próbka jest mniejsza, nie próbuj jeszcze stosować żadnej wersji Kelly’ego — najpierw musisz zebrać statystycznie sensowny materiał.
2. Wstaw te liczby do wzoru f = (bp − q) / b dla własnej ciekawości, a potem porównaj wynik z jednym procentem — jeżeli twój ułamkowy Kelly (połówka albo ćwiartka pełnej wartości) wychodzi blisko jednego procentu, jesteś w bezpiecznym miejscu; jeżeli wychodzi znacznie więcej, masz prawie na pewno przeszacowane p i bezpieczniej zostać przy jednym procencie.
3. Zrób prosty test wrażliwości: powtórz obliczenia z p obniżonym o pięć punktów procentowych i sprawdź, jak bardzo zmienia się rekomendowany sizing — jeżeli skok jest duży, to dowód, że twoja strategia jest na Kelly’ego za bardzo wrażliwa i dla ciebie sensowna pozostaje wyłącznie reguła jednego procentu.
4. Niezależnie od wyniku tych obliczeń, ustal twardy limit dziennej i miesięcznej straty (na przykład 3 procent kapitału na dzień, 8 procent na miesiąc) i zapisz go w pliku ze strategią — sizing per transakcja to tylko jedno z trzech ostrzy zarządzania ryzykiem, dwa pozostałe to limity czasowe i twoja własna dyscyplina psychiczna.
5. Wpisz do kalendarza powtórkę tych obliczeń za sześć miesięcy — Kelly nie jest jednorazową decyzją, tylko parametrem, który powinien być rekalibrowany w miarę gromadzenia nowych danych z rynku i zmieniających się warunków makro; bez okresowej rewizji każdy sizing oparty na historycznych p i b się starzeje.