CVaR — co mówi o ryzyku ogona, czego nie powie VaR

VaR mówi, że w 95% miesięcy nie stracisz więcej niż osiem procent kapitału, i to brzmi uspokajająco. Pytanie, którego VaR nie zadaje, dotyczy pozostałych pięciu procent: kiedy próg już puści, jak głęboka jest średnia strata? Na to odpowiada CVaR, czyli Conditional Value-at-Risk, znany też jako Expected Shortfall. Pokazuję, dlaczego Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego w 2019 r. zastąpił VaR miarą ES oraz jak retail trader może użyć tej liczby bez dorabiania fałszywej precyzji.

Czym CVaR różni się od VaR i dlaczego to nie jest kosmetyka

VaR na poziomie 95% to próg straty, którego z prawdopodobieństwem 95% nie przekroczysz w danym horyzoncie. Jeśli z dwunastomiesięcznej historii rachunku wynika, że w 95% miesięcy strata nie przekroczyła 8% kapitału, mówimy o miesięcznym VaR₉₅ równym minus 8%. Problem polega na tym, że VaR nic nie mówi o pozostałych pięciu procentach miesięcy. Strata może równie dobrze wynieść w nich minus 10%, jak i minus 35% — VaR raportuje tę samą liczbę.

CVaR jest średnią warunkową strat w tych „ogonowych" miesiącach. Formalnie zapisuje się go jako wartość oczekiwaną straty pod warunkiem, że strata jest gorsza od progu VaR — w skrócie E[L | L < VaR_α]. W praktyce dla próbki historycznej oznacza to: posortuj miesięczne stopy zwrotu od najgorszej do najlepszej, weź te, które są gorsze od progu VaR, i policz z nich średnią. Tyle. CVaR zawsze będzie liczbą gorszą lub równą VaR, bo jest średnią z najgorszej części rozkładu, a nie z jego krawędzi.

Dlaczego BCBS w 2019 r. wymienił VaR na Expected Shortfall

Kryzys 2008 odsłonił słabość VaR. Pozycje banków w produktach kredytowych potrafiły w pojedynczej sesji tracić wielokrotność dziennego VaR₉₉. Komitet Bazylejski w dokumencie konsultacyjnym Fundamental review of the trading book z 2013 r. (BCBS 265) zaproponował, by zastąpić VaR miarą Expected Shortfall, a w standardzie ze stycznia 2019 r. (BCBS 457) zmiana stała się obowiązująca. W UE przepisy wchodziły w życie etapami; pełna implementacja FRTB obowiązuje od 1 stycznia 2023 r.

„Jednym z istotnych elementów rewizji jest przejście z value-at-risk na miarę expected shortfall pod stresem." — Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego, Minimum capital requirements for market risk, BIS, 2019

Powody są trzy. ES jest miarą koherentną w sensie Artznera, Delbaena, Ebera i Heatha — w szczególności subaddytywną, czyli ryzyko portfela nie przewyższa sumy ryzyk pozycji. VaR tej własności nie ma, więc dywersyfikacja czasem „zwiększa" VaR. Drobna zmiana poziomu ufności daje płynną zmianę ES, podczas gdy VaR potrafi skoczyć. ES bierze też pod uwagę kształt ogona, a nie jego początek, więc karze portfele o grubych ogonach.

Jak policzyć CVaR na rachunku retail — przykład hipotetyczny

Wyobraź sobie rachunek o saldzie startowym 50 000 PLN, prowadzony przez dwanaście miesięcy. Krzywa kapitału daje następujące miesięczne stopy zwrotu (przykład hipotetyczny, ilustracyjny):

Trzy zastrzeżenia. Dwanaście miesięcy to mała próbka — CVaR ze średniej dwóch wartości jest niestabilny i jedno odbicie przesuwa wynik o kilkadziesiąt procent. Historyczny CVaR zakłada, że przyszłość przypomina przeszłość, a Czarne Łabędzie łamią to założenie (COVID w marcu 2020, frank szwajcarski w styczniu 2015, kryzys 2008). I jeszcze jedno: CVaR z miesięcznych zwrotów nie obejmuje gap'ów weekendowych ani gwałtownych ruchów wewnątrzdziennych, które dla forexu są bardziej dotkliwe niż średnia miesięczna.

Po co retail traderowi CVaR, skoro istnieje zasada 1%

Zasada 1% (lub 0,5% w wersji konserwatywnej) ryzyka na transakcję rządzi sizingiem pojedynczej pozycji. CVaR rządzi portfelem w skali miesięcy. Narzędzia nie konkurują — uzupełniają się. Zasadę 1% stosujesz, zanim masz krzywą kapitału. CVaR uruchamiasz po kilku miesiącach handlu, by zobaczyć, czy fixed-fractional sizing nie produkuje cichego ogona niewidocznego w średniej.

W praktyce: traderowi z CVaR₉₅ minus 11,5% miesięcznie pokazuję, że ekspozycja na trzech skorelowanych parach z USD w scenariuszu szoku dolara da głębszą stratę niż 1% na transakcję by sugerowało. Nie zmieniamy zasady 1%, tylko obniżamy liczbę jednoczesnych pozycji skorelowanych albo redukujemy dźwignię. Decyzja jest jakościowa, miara jedynie kierunkuje.

Najczęstsze błędy interpretacji CVaR

• Mylenie poziomu ufności z prawdopodobieństwem straty. CVaR₉₅ nie znaczy, że stracisz 11,5% w 95% miesięcy. Oznacza średnią stratę w tych pięciu procentach miesięcy, w których VaR puścił.
• Liczenie CVaR z dziennych zwrotów i przenoszenie wprost na miesiąc. Skalowanie ryzyka z dni na miesiące wymaga ostrożności — proste pomnożenie przez pierwiastek z liczby dni działa tylko przy założeniu rozkładu normalnego, a ten dla forexu z reguły nie zachodzi.
• Traktowanie CVaR jak gwarancji. Liczba mówi o tym, co już się działo. Następny ogon może być głębszy, zwłaszcza gdy zmienia się reżim (interwencje banków centralnych, kryzysy płynności).
• Pominięcie kontekstu Sharpe'a i Sortino. CVaR sam w sobie nie powie, czy strategia jest dobra. Zestawiaj go ze Sharpe ratio i Sortino ratio, by zobaczyć stosunek zwrotów do ryzyka, a nie tylko skalę ogona.

Co zrobić jutro, żeby CVaR pracował na twoją korzyść

1. Zbierz miesięczne stopy zwrotu z ostatnich co najmniej dwunastu miesięcy ze swojej platformy lub dziennika transakcji, posortuj od najgorszej do najlepszej i policz CVaR₉₅ jako średnią z najgorszych pięciu procent obserwacji — przy dwunastu miesiącach będzie to średnia z dwóch najgorszych wyników, przy dwudziestu czterech z jednego do dwóch.
2. Skonfrontuj wartość CVaR z dopuszczalnym maksymalnym obsunięciem, które wytrzymujesz psychicznie i finansowo, a następnie zapisz tę liczbę w planie zarządzania ryzykiem — najlepiej obok zasady 1% na transakcję, żeby obie miary były widoczne podczas decyzji o sizingu.
3. Sprawdź, czy twoje pozycje są skorelowane: jeśli trzymasz jednocześnie kilka par z tą samą walutą bazową, CVaR liczony z izolowanych pozycji niedoszacuje ryzyka portfelowego — w razie wątpliwości obniż dźwignię lub zredukuj liczbę jednoczesnych pozycji skorelowanych.
4. Przelicz CVaR ponownie po każdym kwartale i porównuj wartości w czasie; rosnący CVaR mimo stałej zasady 1% sygnalizuje, że albo rośnie zmienność rynku, albo niejawnie zwiększasz ekspozycję — w obu przypadkach warto się zatrzymać i przyjrzeć decyzjom z dziennika.
5. Jeśli twoje portfolio obejmuje wiele instrumentów, rozważ symulację Monte Carlo bazującą na historycznych zwrotach, by uzyskać CVaR z większej liczby ścieżek niż dwanaście miesięcy historii — opis metody znajdziesz w artykule o symulacji Monte Carlo strategii.

Więcej o regulacyjnym kontekście miary znajdziesz w przewodniku MyBank.pl o VaR i ryzyku zdarzeń.