Zobacz na przykładzie
| Element | Wartość |
|---|---|
| VaR nearest-rank: obserwacja 18 | 8% |
| Dwie najgorsze obserwacje | 12% i 20% |
| ES: średnia najgorszych 10% | 16% |
Cała uporządkowana próba strat (%): −5, −4, −3, −2, −1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 20. Dodatni znak oznacza stratę, ujemny zysk. To jawnie wybrana konwencja empiryczna.
Dwa portfele mogą mieć podobny próg VaR, a znacznie różnić się tym, co dzieje się po jego przekroczeniu. Expected Shortfall pozwala opisać tę najgorszą część wyników. Nadal opiera się jednak na danych lub modelu, które mogą pomijać przyszłe zdarzenia.
Przyjmij jednoznaczną konwencję znaku
W tym tekście L oznacza stratę: 12% to strata 12%, a −5% oznacza zysk 5%. VaR na poziomie α jest odpowiednim kwantylem rozkładu L. Expected Shortfall uśrednia górny ogon o masie 1 − α.
W ciągłym rozkładzie można go opisywać jako średnią strat powyżej VaR. W dyskretnych danych z powtórzeniami i ułamkową liczbą obserwacji ogona potrzebne jest uwzględnienie części masy na granicy. Samo odfiltrowanie wszystkich wartości większych od VaR nie zawsze daje poprawny ES.
Dwadzieścia scenariuszy i poziom 90%
Przyjmujemy 20 równoważnych, hipotetycznych obserwacji i kwantyl metodą najbliższej wyższej rangi. Po uporządkowaniu rosnąco VaR90 to obserwacja numer ceil(0,9 × 20) = 18. W przykładzie wynosi 8%.
Górne 10% to dwie kolejne straty: 12% i 20%. Ich średnia wynosi 16%, więc ES90 = 16%. Pełna lista obserwacji jest pod tabelą. Przy poziomie 95% ogon tej samej próbki zawierałby tylko jedną obserwację.
Ogon może wymagać tylko części masy na kwantylu
Przy ułamkowej wielkości ogona sam filtr „strata większa od VaR” daje inną miarę. Autorski model ma cztery równoprawdopodobne straty: 0%, 1%, 1%, 9%, każdą z masą 25%. Dla poziomu 70% kwantyl wynosi 1%, bo na tej wartości skumulowana masa osiąga 75%.
Ogon 30% zawiera całe 25% najgorszej straty 9% oraz tylko 5% masy na granicy 1%. ES 70 wynosi zatem (0,25 × 9%+ 0,05 × 1%)/0,30 = 7⅔%. Odfiltrowanie wyłącznie strat większych od 1% pozostawiłoby samo 9%: to średnia innego, 25-procentowego ogona.
Nie trzeba wybierać arbitralnie jednej z dwóch obserwacji 1%; istotna jest łączna masa na kwantylu. W opracowaniu Rockafellara i Uryaseva ten podział oddziela CVaR od warunkowej średniej ściśle powyżej progu przy rozkładzie dyskretnym.
Model jest celowo mały i jawny. Nie opisuje częstości strat na rynku ani precyzji estymatora. Przeliczając własny raport, sprawdź konwencję kwantyla i sposób wykorzystania masy granicznej; zaokrąglenie 30% do jednej obserwacji zmieni tu odpowiedź, mimo tej samej listy danych.
Ograniczenia próbki i horyzontu
Dwadzieścia scenariuszy wystarcza do pokazania rachunku, ale nie do precyzyjnego opisania rzadkich zdarzeń. Przy zmianie metody kwantyla raport może podać inny VaR; porównaj konwencje przed porównaniem liczb.
Miesięczny wynik może zawierać skutki luki, ale nie pokazuje całego przebiegu śróddziennego ani najgłębszego chwilowego equity. Nie przenoś ES z miesiąca na dzień bez odpowiedniego modelu.
Najpierw zsumuj straty w tych samych scenariuszach
Dwa osobne ogony nie mówią jeszcze, czy pozycje tracą jednocześnie. Ten sam rozkład każdej pozycji może dać inny ogon ich sumy.
Przesuń diagram w bok, aby zobaczyć całość
Autorski model czterech wspólnych scenariuszy z jednakowymi wagami 25%, w jednej walucie i w tym samym umownym horyzoncie. Porównujemy dwa alternatywne modele zależności, nie dwie kolejne serie w czasie. Straty są dodatnie; ES50 definiujemy jako średnią najgorszych 50% masy, z częściami masy granicznej w razie remisów. Przy czterech jednakowych wagach odpowiada to dwóm największym stratom, także gdy są równe. Poziom 50% ułatwia pokazanie mechanizmu; nie jest ustawieniem regulacyjnym ani rekomendacją. Rockafellar i Uryasev definiują CVaR przez średnią rozkładu ogona z prawidłowym traktowaniem masy na granicy.
W obu modelach każda pozycja osobno ma najgorsze wyniki 10 i 10 PLN: jej ES50 wynosi 10 PLN. Jednak suma dwóch osobnych ES, 20 PLN, nie jest automatycznie ES ich wspólnego portfela. Zsumuj wyniki w tym samym scenariuszu, a dopiero później wybierz ogon. W pierwszym modelu daje to (10 + 10) ÷ 2 = 10 PLN; w drugim (20 + 20) ÷ 2 = 20 PLN. Nie wynika z tego stabilność zależności rzeczywistych instrumentów ani granica przyszłej straty.
Gdzie ta miara pasuje
Komitet Bazylejski opisał ES w standardzie ryzyka rynkowego banków. Ten regulacyjny kontekst nie ustanawia osobistego limitu dla rachunku detalicznego. ES, obsunięcie i modelowa strata pojedynczej pozycji opisują różne aspekty ryzyka.
Sprawdź, czy rozumiesz
Jedno krótkie ćwiczenie
Około 2 min · możesz spróbować ponownie
W lewym modelu każda pozycja osobno ma ES50 równe 10 PLN. Ile wynosi ES50 ich sumy?
- 20 PLN, bo dodajemy dwa osobne ES.
- 10 PLN, bo suma w każdym scenariuszu wynosi 10 PLN.
- 0 PLN, bo straty pozycji są rozłączne.
Sprawdź odpowiedź i wyjaśnienie
10 PLN, bo suma w każdym scenariuszu wynosi 10 PLN.
Najgorsza połowa wspólnych sum nadal składa się z wartości 10 i 10. Jej średnia wynosi 10 PLN.
Jeszcze jedno ćwiczenie
Najgorsze 10% dwudziestu scenariuszy to straty 12% i 20%. Ile wynosi średnia tego ogona?
Sprawdź odpowiedź
(12% + 20%) ÷ 2 = 16%. To ES90 dla jawnie opisanej próbki i konwencji.